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miércoles, 4 de marzo de 2009

EL MAPA DE KARNAUGH ( I ).

El álgebra Boleana tiene sus limitaciones.

Considérese la siguiente expresión:

AB + B

Aparentemente, esta expresión ya no se puede simplificar. Sin embargo, podemos comprobar (construyendo las Tablas de Verdad) que esta expresión cuya simplificación no es tan obvia pese a todo es equivalente a la siguiente expresión:

A + B

la cual es mucho más sencilla. Se hace evidente que hay casos en los cuales el álgebra Boleana no es suficiente. Tenemos pues que recurrir a otras técnicas que la complementen.

Los diagramas de subconjuntos nos proporcionan una manera sencilla de poder visualizar las relaciones que puede haber entre varias variables. Quizá los diagramas más sencillos de todos son los que representan al "1" lógico, el cual podemos representar como un cuadro completamente lleno, y al "0" lógico, el cual podemos representar como un cuadro completamente vacío:


En este tipo de diagramas, no sólo podemos representar el "uno" y el "cero". También podemos representar variables. El diagrama más sencillo de todos es el que utilizamos para representar una sola variable, el cual está dividido en dos partes: una parte "llena" que es la parte en la cual la variable A toma el valor de "1" (a la izquierda, de color ciano), y la parte "vacía" que es la parte en la cual la variable A toma el valor de "0" (a la derecha, sin color):


Pero con estos diagramas no sólo podemos representar a la variable. También podemos representar el inverso lógico de la variable, el cual será como se muestra a continuación:


Del mismo modo, podemos representar una segunda variable B y el complemento de la misma de la siguiente manera:



Superimponiendo ambas variables en un mismo diagrama, podemos contestar algunas preguntas interesantes como la siguiente: ¿en qué parte del diagrama mixto se encontrará la región en la cual ambas variables A y B se traslapan? La respuesta se dá a continuación:


A continuación tenemos la región en donde la variable A se traslapa con el complemento de la variable B, así como la región en la cual los complementos de ambas variables se traslapan:


Hagámonos ahora otra pregunta: ¿cuál sería la región en la cual las variables A y B se unen (en lugar de intersectarse), la porción del diagrama en donde podemos estar ya sea en A ó en B, o sea la región que representaría la suma Boleana A+B de dichas variables? La respuesta se dá a continuación:


Y el área que representa la suma Boleana de los complementos de ambas variables es la siguiente:


Por su parte, la expresión Boleana AB+AB que representa la salida de un bloque OR-EXCLUSIVO es la siguiente:


Si queremos superimponer en el mismo mapa una tercera variable C, lo podemos hacer de la siguiente manera:



Y si queremos superimponer en el mismo mapa una cuarta variable D, lo podemos hacer de la siguiente manera:



El mismo procedimiento constructivo se puede extender hacia una quinta variable e inclusive hacia una sexta variable, aunque la ventaja de visualización se va perdiendo rápidamente encima de las cuatro variables.

Para representar en el mapa una expresión elaborada como (A+B)(C+D):


primero localizamos en el mapa la región que representa la suma de las regiones A y B, o lo que es lo mismo, la suma Boleana de las variables A y B:


tras lo cual localizamos en el mapa la región que representa la suma de las regiones C y D, o lo que es lo mismo, la suma Boleana de las variables C y D:



tras lo cual obtenemos un mapa que represente las regiones que ambos mapas de A+B y C+D tengan en común, o sea la región común en la que ambos se intersectan, lo cual equivale a llevar a cabo la operación lógica AND de A+B y de C+D.

Los diagramas de subconjuntos permiten verificar de manera casi inmediata todos los teoremas Boleanos que fueron demostrados en el capítulo anterior. Por ejemplo, el teorema que dice:

A + A = 1

es verificado de la siguiente manera:


Es importante señalar que para los matemáticos puros, esto no constituye una demostración formal, sino una simple verificación de un teorema. Sin embargo, entanto que nosotros mismos nos podamos convencer visualmente de la veracidad de algún enunciado Boleano mediante este recurso, podemos hacer a un lado el rigorismo formalista y continuar adelante con la mentalidad típica del ingeniero que busca procedimientos que den resultados comprobados en la práctica.

Con cambios mínimos, los diagramas de subconjuntos nos sirven de base para introducirnos a una de las herramientas de simplificación de circuitos lógicos más populares que hay. Estudiaremos a continuación el siguiente mapa para dos variables boleanas A y B conocido como el mapa de Karnaugh, inventado en 1952 por Edward W. Veitch y refinado posteriormente por Maurice Karnaugh, un ingeniero de telecomunicaciones trabajando para Bell Labs:





Para la construcción de nuestro primer mapa de Karnaugh, utilizaremos un concepto introducido en la sección de problemas resueltos del capítulo anterior, el concepto del minterm. Supóngase que desamos localizar el minterm AB en el mapa de Karnaugh. Estudiando el mapa detenidamente, vemos que podemos representar dicho minterm en el mapa como se muestra a continuación:



De la misma manera, si deseamos representar los minterms AB y A·B en el mapa de Karnaugh, podemos hacerlo de la siguiente manera:





Ahora bien, también podemos representar variables sencillas en el mapa de Karnaugh. Supóngase que deseamos representar B en el mapa de Karnaugh. Esto lo logramos de la siguiente manera:



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