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miércoles, 4 de marzo de 2009

EL MAPA DE KARNAUGH ( II ).

Estudiamos ahora un hecho de importancia trascendental. Este último mapa de Karnaugh nos indica que B es igual a la suma de los minterms AB y A·B, lo cual podemos comprobar mediante el álgebra Boleana como sigue:

AB + A·B = (A + A)B = (1)B = B

Tenemos aquí nuestra primera indicación sobre cómo podemos usar el mapa de Karnaugh para simplificar circuitos lógicos.

Supóngase que la salida de un circuito está dada por la siguiente expresión:

Salida = AB + A·B

Podemos describir la salida del circuito en un mapa de Karnaugh de la manera siguiente:



Vemos de inmediato en el mapa cómo los minterms AB y A·B forman dos grupos adyacentes que están cubiertos completamente en el mapa por la variable A. Concluímos, pues, que la salida simplificada del circuito está dada por la siguiente expresión:

Salida = A

La regla general para simplificar un circuito usando el mapa de Karnaugh es examinar el mapa que le corresponde y determinar los agrupamientos más grandes de grupos adyacentes que se pueden describir con el menor número de variables boleanas.

Usando el mapa de Karnaugh, tratemos ahora de simplificar la expresión que encontramos al comienzo de este capítulo:

AB + B

Su mapa de Karnaugh con una simplificación posible tendrá el siguiente aspecto (el "minterm" correspondiente a la variable B está enmarcado dentro de una línea verde cubriendo todo el renglón representativo de B, mientras que el "minterm" AB es puesto antes de los agrupamientos simplificadores en la esquina inferior izquierda) :




Como se puede ver, es posible hacer dos agrupamientos de grupos adyacentes, los cuales están descritos por la expresión:

A + B

que es la expresión simplificada que buscábamos.

Asimismo, el mapa de Karnaugh nos indica cuáles son las expresiones que no se pueden simplificar. Por ejemplo, la siguiente expresión:

AB + AB

está descrita por el siguiente mapa:




Esta expresión, como se puede ver en su mapa de Karnaugh, ya no se puede simplificar.

Existen también mapas de Karnaugh para expresiones con tres o más variables, algunos de los cuales se muestran al final de esta introducción.

Supóngase que deseamos simplificar un circuito con tres variables de entrada A, B y C cuya salida es la siguiente:

ABC + B·C + ABC + + A·B·C

En este caso, tenemos que utilizar el mapa de Karnaugh para tres variables:



El mapa de Karnaugh para la expresión lógica dada se muestra a continuación:



La primera simplificación es evidente. Los minterms ABC y ABC pueden ser agrupados para ser representados por la relación BC (esta agrupación es la que corresponde a los unos que están encerrados dentro del rectángulo rojo). La siguiente simplificación no es tan obvia.

Obsérvese que si conectamos los vértices del mapa alrededor de un cilindro (esto es, si enrollamos el mapa y unimos el lado izquierdo con el lado derecho), se puede llevar a cabo otra simplificación. En efecto, los minterms B·C y A·B·C se pueden agrupar dentro de la relación BC (correspondiente a los unos que están encerrados dentro del rectángulo verde).

La salida simplificada será por lo tanto:

BC + B·C

Consideremos un circuito cuya Tabla de Verdad es la siguiente:


Podemos representar esta expresión de salida en función no de sus minterms sino de sus maxterms, los cuales fueron introducidos en la sección de problemas resueltos del capítulo anterior, basados en el producto-de-sumas en lugar de la suma-de-productos, como se muestra en el siguiente mapa de Karnaugh:



Como se muestra en el mapa, los maxtems A+B y A+B se pueden agrupar dentro del "maxterm" B.

Asimismo, los maxterms A+B y A+B se pueden agrupar para formar el "maxterm" A.

Puesto que la salida del circuito sigue siendo el producto de sus maxterms, la salida en este caso será:

Salida = (A)(B) = AB

Este es el resultado que buscábamos.

El mapa de Karnaugh se puede extender para manejar cuatro variables, como se muestra a continuación:



Para intentar simplificar un circuito lógico con cinco variables, podemos recurrir a un mapa de Karnaugh como el siguiente:



Existe otro tipo de representación para el mapa de Karnaugh, la cual es completamente equivalente a la que ya hemos visto. Bajo esta representación, a continuación tenemos un mapa de Karnaugh para dos variables A y B:



Aquí la entrada correspondiente a la combinación AB=01 estará situada en el segundo renglón y en la primera columna. Esta representación es completamente a la representación que vimos al principio. A continuación se muestran los dos tipos de representación, lado a lado, para dos variables A y B:



Para tres variables de entrada A, B y C, bajo la representación alterna un mapa de Karnaugh tendrá el siguiente aspecto:



Aquí el casillero correspondiente a la entrada ABC= 011 estará situado en el segundo renglón y en la segunda columna. Y el casillero correspondiente a la entrada ABC=101 estará situado en el primer renglón y en la cuarta columna.

Y para cuatro variables A, B, C y D, el mapa de Karnaugh para este tipo de representación será el siguiente:



El acomodo de variables en el mapa se puede llevar a cabo de acuerdo con las preferencias personales de cada persona, lo principal es que en el mapa aparezcan de modo apropiado todas las variables con todos sus diversos valores posibles de "unos" y "ceros".

A continuación se llevará a cabo la simplificación de un circuito lógico de tres variables a, b y c, mediante un mapa de Karnaugh de este tipo trazado de la siguiente manera:





Dentro de este mapa de Karnaugh, se destacarán las combinaciones de valores tanto de las entradas como de la salida:



1 comentario:

ramon dijo...

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