LOS NÚMEROS BINARIOS ( II )

Existe una forma especial de representar los números decimales usando el sistema binario, para que estos se parezcan un poco más a la numeración que usamos (aunque no es notación binaria pura). Cada dígito decimal se representa por su equivalente por separado, sin llevar a cabo conversión alguna. Por ejemplo, el número 3497 se representa como sigue:

Esta forma de representación se conoce como el código decimal codificado binario BCD (del inglés Binary Coded Decimal).

Ahora nos plantearemos otra dilema filosófico un poco diferente al problema con el cual comenzamos este capítulo: Supóngase que el hombre en vez de tener cinco dedos en cada mano hubiese tenido ocho. ¿Cuál habría sido nuestra forma de contar? (El caso no es tan hipotético como pudiera creerse; hay personas que de nacimiento son portadoras de una falla genética que produce en ellas algo conocido como polidactilismo, lo cual es una expresión médica para designar la presencia de más de cinco dedos ya sea en las manos o en los pies; y aunque pudiera parecer que existe alguna ventaja en poseer una mayor cantidad de dedos en ambas manos o pies que los cinco que actualmente tenemos, la evolución por alguna razón no ha favorecido una cantidad mayor de dedos).

Nuevamente, un momento de reflexión nos indica que nuestro sistema numérico en tal caso no habría sido muy diferente del sistema decimal que conocemos en la actualidad, excepto que estaríamos contando de dieciseis en dieciseis. Al tener una abundancia de dedos en ambas manos, muy posiblemente habríamos inventado algún símbolo único como el símbolo A para representar en dicho sistema numérico base-16 lo que hoy denotamos como diez con dos símbolos (10). Para representar el equivalente del número decimal 11 nuestro doceavo dedo se podría haber representado con otro símbolo nuevo, como el símbolo B. De este modo, habríamos tenido un símbolo diferente para representar cada número hasta antes de llegar al número 16 (decimal). Y al llegar a lo que vendría siendo el equivalente del número 16 decimal, se tomaría el símbolo que representa la menor cantidad de unidades (el 1) y se le agregaría un cero, obteniéndose así la siguiente cifra. El proceso se repite indefinidamente de modo similar al proceso utilizado en el sistema decimal. Un conteo ascendente en este sistema numérico hexadecimal procede de la siguiente manera:

Base 10_____Base 16

0__________0
1__________1
2__________2
3__________3
4__________4
5__________5
6__________6
7__________7
8__________8
9__________9
10__________A
11__________B
12__________C
13__________D
14__________E
15__________F
16__________10
17__________11
18__________12
19__________13
20__________14
21__________15
22__________16
23__________17
24__________18
25__________19
26__________1A
27__________1B
28__________1C
29__________1D
30__________1E
31__________1F
32__________20

Para destacar un número como un número que está basado en el sistema hexadecimal, utilizamos una letra h ya sea al final del número o al principio del número o como subscripto del número. Así, el número 19 hexadecimal se vendría destacando con una de las siguientes representaciones:

19h

19_h

Por extraño que nos parezca, este sistema numérico hexadecimal es muy utilizado en el área de las ciencias computacionales. La razón de su enorme utilidad radica en el hecho de que existe una relación sencilla entre las representaciones de un número binario puro y su equivalente en sistema hexadecimal cuando el número binario es un múltiplo de cuatro bits:

aaaaaBinario___Hexadecimal

0000________0
0001________1
0010________2
0011________3
0100________4
0101________5
0110________6
0111________7
1000________8
1001________9
1010________A
1011________B
1100________C
1101________D
1110________E
1111________F

lo cual simplifica enormemente la conversión de un sistema numérico a otro. Por ejemplo, si queremos encontrar el equivalente hexadecimal del siguiente número binario:

11000101000001101000000101011ooo

todo lo que tenemos que hacer es "separar" el número binario en grupos de cuatro bits:

1100 0101 0000 0110 1000 0001 0101 1ooo

tras lo cual podemos convertir directamente cada grupo individual en su equivalente hexadecimal:

C 5 0 6 8 1 5 8

Para convertir un número hexadecimal a binario, simplemente aplicamos el procedimiento inverso. Si queremos convertir el número hexadecimal AF37 a su equivalente binario, lo hacemos tomando en cuenta que A=1010, F=1111, 3=0011 y 7=0111. Así, el número hexadecimal de este ejemplo es igual a:

1010 1111 0011 0111

o en forma más abreviada (aunque un poco menos clara):

1010111100110111

Puesto que se requiere de muchos bits para poder representar un número de tamaño moderado, al leer un número de 32 bits almacenado en un registro como el siguiente:

1010 1111 0101 0111 0110 0001 0001 1011

es mucho más rápido y fácil para un humano escribir o leer:

AF57611B

que el número binario mostrado.

Al igual que en la numeración decimal existen y se manejan con frecuencia los números negativos, precedidos por un signo menos (-) puesto a la izquierda de los mismos, en la numeración binaria también existen y se manejan con frecuencia los números negativos. Sin embargo, en la numeración binaria para distinguir un número negativo de uno positivo no se acostumbra hacerlo con un signo de menos (-). Una forma de llevar a cabo algún tipo de distinción es antecediendo la cifra binaria con un "0" si la cifra es positiva (+) ó con un "1" si la cifra es negativa (-). Si reservamos el primer bit hacia la izquierda para representar el signo del número binario, entonces los siete bits restantes en una palabra binaria de un "byte" no son suficientes para codificar números decimales con suficiente precisión, y en tal caso se requieren por lo menos dos bytes para poder representar números decimales hasta 32 mil. Bajo la convención universal del signo que acabamos de dar:

00000001 representa al número decimal 1

10000010 representa al número decimal -2

Una desventaja de esta representación es que los números binarios de signos distintos no pueden sumados en la forma usual como se acostumbra hacerlo, ya que si sumamos los dos números binarios anteriores el resultado será 10000011, o sea -3, lo cual es incorrecto (la respuesta correcta debería ser -1). De cualquier modo, mantendremos esta representación hasta que encontremos en capítulos posteriores otra que nos permita llevar a cabo en forma correcta operaciones aritméticas con números de signos distintos en el sistema binario obteniendo siempre la magnitud correcta con el signo correcto. De cualquier modo, lo que no cambiará será el uso del primer bit reservándolo para denotar el signo de la cantidad.

Hemos hablado del uso de la numeración binaria para poder ir contando números enteros de uno en uno en el sistema base-2. Es posible que aquí haya algún lector que se pregunte: ¿será posible utilizar también el sistema binario para contar y medir fracciones, cantidades menores que la unidad, tal y como lo hacemos en el sistema decimal? La respuesta es afirmativa, y para poder lograrlo tenemos que introducir en la numeración binaria el mismo artificio que usamos para distinguir números enteros de números menores que la unidad: el punto, que en este caso en vez de ser el punto decimal será el punto binario.

Una fracción representa una división. Al igual que como ocurre en el sistema decimal, las fracciones en el sistema binario pueden ser escritas con un numerador y un denominador separados con una barrita horizontal:

En el sistema decimal las fracciones pueden ser escritas con un punto decimal. Ejemplo de ello son:

Del mismo modo, las fracciones en el sistema binario también pueden ser escritas utilizando un punto para ello, aunque en lugar de hablar de un punto decimal estamos hablando de un punto binario. Así:

Dicho de otra manera, para poder representar fracciones en el sistema binario, el principio sigue siendo el mismo. Los símbolos decimales para cantidades fraccionarias son construídos a base de décimas, centésimas (décimas de décimas), milésimas (décimas de décimas de décimas), diezmilésimas, y así sucesivamente. Los símbolos binarios se construyen a base de mitades, mitades de mitades, mitades de mitades de mitades, y así sucesivamente. Esto nos permite construír la siguiente tabla de equivalencias:

y así sucesivamente. Otras fracciones pueden ser representadas como combinaciones de estos números clave que aparecen en la tabla de equivalencias. Así:

.11 = 1/2 + 1/2 = 3/4

.101 = 1/2 + 1/3 = 5/3

Estos resultados los podemos corroborar de la siguiente manera, representando la fracción como el cociente de dos enteros binarios:

.11 = 11/100 = 3/4

.101 = 101/100 = 5/3

Además del sistema de numeración binaria, del sistema BCD, y del sistema hexadecimal, existen otros sistemas numéricos, entre los cuales tiene cierta prominencia el sistema octal o sistema base-8. Para fines comparativos, a continuación se dá un listado de los primeros diez números en su equivalente decimal, su equivalente octal, y su equivalente binario:

El papel que desempeña el sistema octal en el desarrollo de sistemas digitales basados en circuitos binarios tiene que ver con la relación sencilla que existe entre los símbolos binarios y los símbolos octales. Para poder apreciar mejor esta relación, examínese los siguientes símbolos equivalentes para cantidades un poco mayores:

Para una mejor visualización, cada equivalente binario ha sido separado en grupos de tres dígitos (siguiendo un orden de derecha a izquierda), lo cual nos permite descubrir que cada grupo de tres dígitos se corresponde con el dígito octal equivalente en la misma posición. De este modo, un número binario como 10001001 puede ser separado en grupos de tres dígitos como 10 001 001, lo cual nos permite determinar de inmediato a su equivalente octal como 211. El número binario 10001001 equivale al número decimal 137, y podemos verificar que el número octal 211 también equivale a este número decimal por la táctica usual de asignarle a cada dígito octal su valor posicional en el sistema decimal:

211₈ = 2(8²) + 1(8¹) + 1(8⁰)

211₈ = 2(64) + 1(8) + 1(1)

211₈ = 128 + 8 + 1 = 137₁₀

El propósito de la numeración octal (al igual que la numeración hexadecimal) es tender un puente entre el sistema de numeración decimal que nos es tan familiar y el menos entendible sistema binario. Los símbolos decimales constituyen nuestro medio cotidiano de trabajo para cálculos aritméticos, pero el lenguaje de "unos" y "ceros" es el lenguaje natural con el cual trabajan las máquinas. La desventaja de los números binarios es que se requiere una serie larga de "unos" y "ceros" para poder representar una cantidad que en el sistema decimal se puede representar de manera más compacta, como el número 10001001 que equivale al número decimal 137. La ventaja de utilizar símbolos octales es que son abreviaturas convenientes de símbolos binarios, y el utilizar números octales en lugar de los más familiares números decimales representa un paso natural para acortar la distancia que separa a una computadora "humana" acostumbrada a trabajar en el sistema decimal y la máquina.