PROBLEMAS RESUELTOS SOBRE KARNAUGH ( I )

PROBLEMA: Verificar los dos teoremas de DeMorgan mediante el uso de diagramas de subconjuntos.

Empezaremos por la verificación del teorema de DeMorgan que dice:

A + B = A · B

Un diagrama de subconjuntos nos permite localizar A + B de la siguiente manera:

Por otra parte, de los diagramas de subconjuntos de A y B:

vemos de la intersección de los mismos (que viene siendo el producto Boleano de A y B) que A·B es igual a:

Esto comprueba el teorema de DeMorgan que se deseaba verificar.

Ahora continuamos con el teorema de DeMorgan que dice:

A · B = A + B

Un diagrama de subconjuntos nos permite localizar A · B de la siguiente manera:

Por otra parte, de los diagramas de subconjuntos de A y B que tenemos arriba, vemos que la suma de los mismos A+B es igual al diagrama superior derecho. Esto comprueba el otro teorema de DeMorgan que se deseaba verificar.


PROBLEMA: Mostrar todos los términos posibles del doble producto ABC usando un diagrama de subconjuntos, escribiendo dentro de cada celda el término que le corresponda (como ABC, ABC, etc.)

Para la resolución de este problema, resulta conveniente tener a la mano los diagramas de subconjuntos para cada una de las variables considerando que el sistema estará formado por tres variables en total:

Con estos tres diagramas a la mano, resulta fácil elaborar el diagrama de subconjuntos mostrando todos los términos posibles del doble producto ABC:

PROBLEMA: Usando diagramas de subconjuntos, diseñar una máquina que produzca las siguientes salidas.

Esta máquina se puede lograr juntando los productos básicos ABC, ABC, ABC y ABC, pero en este problema se trata de construír una máquina más sencilla.

Un vistazo al diagrama de subconjuntos producido por la Tabla de Verdad proporcionada demuestra que dicho diagrama se puede descomponer en la suma de otros sub-diagramas que representan expresiones más sencillas:

En base a esto, la salida correspondiente a la misma máquina pero construída de una manera más sencilla será:

Salida = AB + AC + BC

Obsérvese que con mera álgebra Boleana no es posible "ver" fácilmente esta simplificación.

Esta máquina puede ser vista como una máquina analizadora de votos, puesto que la salida será "1" cuando una mayoría de las entradas A, B, C sean "1". Y desde luego, el principio de la misma puede ser extendido a más de tres entradas.


PROBLEMA: Usando diagramas de subconjuntos, diseñar la máquina más sencilla posible cuya Tabla de Verdad sea la siguiente:

Tomando en cuenta las entradas que producen un "1" a la salida, de la Tabla de Verdad obtenemos el siguiente diagrama de subconjuntos (usando el mismo orden de acomodos que en los problemas previos) que destaca los seis términos A·B·C, ABC, ABC, AB·C, ABC y ABC:

Podemos agrupar los términos ABC', ABC y A·B·C obteniendo la región común a las variables B y C, o sea B+C, y tomando tras esto la intersección de esta región con la región que corresponde a la variable A:

Podemos agrupar también los términos ABC y AB·C:

Esto deja a un solo término solitario, el término ABC:

Sumando las tres regiones obtenemos la expresión final para la máquina simplificada:

Salida = A(B + C) + AB + ABC

PROBLEMA: Dado un circuito cuya Tabla de Verdad es la siguiente:

construír el mapa de Karnaugh que le corresponde, mostrando en el mapa todas las entradas correspondientes tanto de los "unos" como de los "ceros".

El contenido de cualquier Tabla de Verdad se puede vaciar directamente a un mapa de Karnaugh, y viceversa. La Tabla de Verdad y el mapa de Karnaugh son en realidad dos formas diferentes de representar exactamente la misma información. Podemos empezar con la construcción del mapa poniendo un "1" en todos los casilleros del mapa que correspondan a los minterms, por ejemplo ABCD, A·B·CD, etc., y una vez que hayamos vaciado todos los minterms en el mapa podemos simplemente llenar el resto de los casilleros con "0". Para la Tabla de Verdad proporcionada, vaciando los "unos" en los lugares que les corresponden y vaciando los "ceros" en los lugares que les corresponden, el mapa de Karnaugh será:

PROBLEMA: Representar, usando mapas de Karnaugh para cuatro variables, las siguientes expresiones que contienen minterms:

1) ABCD + ABCD + ABCD + A·B·CD + A·B·CD

2) ABCD + AB·C·D + ABC·D + A·B·CD + A·B·C·D

Los mapas de Karnaughg para las expresiones dadas serán como se muestra a continuación:

1)

2)