(1) Para el bloque AND con cuatro terminales de entrada, extendemos la definición Boleana del bloque AND de dos terminales de entrada en el cual la salida de un AND que tenga dos entradas A y B estará dada por el producto Boleano de dichas variables de entrada, o sea AB. Del mismo modo, la salida de un AND que tenga cuatro entradas A, B, C y D estará dada también por el producto Boleano de dichas variables de entrada: la salida del AND será entonces ABCD.
(2) Para el bloque OR con cuatro terminales de entrada, extendemos la definición Boleana del bloque OR de dos terminales de entrada en el cual la salida de un OR que tenga dos entradas A y B estará dada por la suma Boleana de dichas variables de entrada, o sea A+B. Del mismo modo, la salida de un OR que tenga cuatro entradas A, B, C y D estará dada también por la suma Boleana de dichas variables de entrada. La salida del AND será entonces A+B+C+D.
(3) Analizando el diagrama del circuito, vemos que la salida del AND superior será igual al producto de las variables de entrada A y B, o sea AB, mientras que la salida del AND inferior será igual al producto de las variables de entra C y D, o sea CD. Como estas salidas son alimentadas a un OR en donde son sumadas, la salida del OR será entonces AB+CD.
(4) Analizando el diagrama, tenemos una situación parecida al circuito anterior, excepto que la salida de cada AND es invertida antes de ser introducida al OR. Esto quiere decir que, del primer AND, el OR recibirá como entrada A·B, mientras que del segundo AND el OR recibirá como entrada C·D. Estas dos entradas son sumadas en el OR, produciendo a la salida del mismo A·B+C·D.
PROBLEMA: En ciertos textos, sobre todo algunos utilizados para introducir no a los ingenieros y técnicos sino a los estudiantes de las ciencias puras (especialmente aquellos que cursan las Licenciaturas de Matemáticas), es frecuente abrir el tema del álgebra Boleana con una representación en la cual las funciones OR y AND se llevan a cabo mediante simples interruptores eléctricos. Bajo esta representación, la acción de un circuito OR que ocurre en un circuito sencillo como el siguiente (ampliar imagen para ver la acción animada en caso de no haber animación visible):
es representada simbólicamente de la siguiente manera:
y la acción de un circuito AND que ocurre en un circuito sencillo como el siguiente (ampliar imagen para ver la acción animada en caso de no haber animación visible):
es representada simbólicamente de la siguiente manera:
Bajo esta representación, ¿cuál será la ecuación Boleana del siguiente circuito?
¿Qué desventaja puede tener en la práctica este tipo de interpretación lógica?
En el circuito proporcionado, los interruptores q y p están en serie, en una combinación AND, y su equivalente Boleano es pq. Y como esto está en paralelo con el interruptor s, esta parte del circuito tiene una representación Boleana pq+s. Y como esto está en serie con otro interruptor s, la representación Boleana de la parte superior de la red es s(pq+s). La parte inferior de la red son tres interruptores q, r y p en serie, en una combinación AND cuyo equivalente Boleano es pqr. Y como la parte superior del circuito cuya representación Boleana es pq+s está en paralelo con la parte inferior del circuito cuya representación Boleana es pqr, el equivalente Boleano del circuito es:
s(pq + s) + pqr
La principal desventaja en la práctica de este tipo de interpretación lógica es que no existe el inversor lógico, no existe la función NOT, y esta función no se puede implementar simplemente con interruptores eléctricos como los aquí mostrados.
PROBLEMA: ¿Cuál es la salida Boleana del siguiente circuito?
PROBLEMA: ¿Cuál es la salida del siguiente circuito? Escribir además una Tabla de Verdad para el mismo.
Trazando las señales a través de las funciones lógicas, obtenemos lo siguiente:
Podemos ver que la salida del circuito a través de la función AND en el extremo derecho estará dada por la siguiente expresión:
[A(A + B)][AB + A + B]
La Tabla de Verdad se puede obtener sustituyendo en la expresión anterior todas las combinaciones posibles de "unos" y "ceros" en las literales A y B y evaluando la salida para cada combinación en particular. Por ejemplo, para la combinación A=0 y B= 0:
[A(A + B)][AB + A + B] = [0(0 + 0)][0 • 0 + 0 + 0]
= [1(1 + 0)][0 + 1 + 0]
= [1(1)][1] = [1][1] = 1
De este modo, la Tabla de Verdad obtenida será como se muestra a continuación:
PROBLEMA: ¿Cuál es la salida del siguiente circuito? Escribir además una Tabla de Verdad para el mismo.
Trazando las señales a través de las funciones, se tiene lo siguiente:
La salida es:
Considerando todas las combinaciones posibles de "unos" y "ceros", la Tabla de Verdad para la salida del OR de tres entradas es como se muestra a continuación:
PROBLEMA: ¿Cuál es la salida Boleana del siguiente circuito lógico?
Veamos primero cuál es la salida Boleana del primer AND de tres entradas (el que está puesto más arriba en el diagrama). Este AND tiene una primera entrada B, tiene una segunda entrada C y tiene una tercera entrada D. Entonces la salida Boleana de este AND será BCD. Ahora veamos cuál es la salida Boleana del segundo AND de dos entradas. Este AND tiene una entrada A y tiene otra entrada D, con lo cual su salida Boleana será AD. El tercer AND de tres entradas tiene una primera entrada B, tiene una segunda entrada C, y tiene una tercera entrada D. Entonces su salida Boleana será BCD. Por último, el cuarto AND de tres entradas tiene una primera entrada A, tiene una segunda entrada B, y tiene una tercera entrada C, con lo cual su salida Boleana será A·B·C. Puesto que las salidas de los cuatro ANDs es sumada (en el sentido Boleano) por el bloque OR, la salida F estará dada por la expresión:
F= BCD + AD + BCD + A·B·C
PROBLEMA: Se nos asegura que un circuito de dos entradas tiene una salida AB+A·B. ¿Cuál es el diagrama de tal circuito?
El hecho de que el resultado final sea la suma de dos cantidades nos indica que hay una función OR al final, dando:
La cantidad AB es un producto Boleano obtenido en una función AND, dando así:
Asimismo, con la otra expresión:
Los términos de la expresión inferior a la entrada de la misma se pueden obtener invirtiendo las señales de entrada a través de la función NOT, esto es:
Uniendo las señales que tienen el mismo punto de origen tenemos el diagrama final del circuito completo:
PROBLEMA: Dado un circuito cuya salida es
AB + CD
¿cuál es el diagrama del circuito que corresponde a dicha expresión Boleana (no es necesario simplificar la expresión)?
Usando el mismo razonamiento que en el problema anterior, trabajando hacia atrás usando la expresión de salida como punto de referencia, tenemos primeramente que toda la expresión es una expresión invertida lógicamente, o sea que ha pasado por un NOT inversor:
La expresión antes de ser invertida por el NOT es AB+CD., lo cual quiere decir que hay un OR uniendo los productos Boleanos con que está siendo alimentado. A continuación tenemos el diagrama cumulativo del circuito:
Y por último, agregando los bloques AND con los cuales las variables de entrada A y B así como las variables de entrada C y D están siendo multiplicadas respectivamente, tenemos el diagrama completo del circuito:
Esta es una configuración famosa conocida como la configuración AOI (And-Or-Invert) porque la primera operación que efectúa sobre las entradas es la operación AND, la siguiente operación es la operación OR y la última operación es la operación de INVERSION. Obsérvese que si conectamos las terminales C y D entre sí mandando la terminal resultante a la condición "cero" (esto es, poniendo un "0" lógico en ambas) tendremos entonces una función NAND de entradas A yB. Por otro lado, si conectamos las terminales A y B entre sí designando a la terminal resultante como X, y conectamos las terminales C y D entre sí designando a la terminal resultante como Y, tendremos entonces una función NOR de entradas X y Y. Y si conectamos todas las terminales de entrada A, B, C y D entre sí formando una sola terminal de entrada, tendremos entonces la función NOT.
La habilidad de la configuración AOI para generar todas estas funciones lógicas y su facilidad de construcción una vez estandarizada son las razones principales de la popularidad que ha tenido esta configuración en los estudios teóricos llevados a cabo en los círculos académicos, aunque en la práctica la configuración AOI no es tan útil como pudiera serlo en virtud de que se puede demostrar que todas las funciones lógicas básicas se pueden generar a partir del bloque NAND, o bien a partir del bloque NOR, precisamente los componentes básicos en la construcción de estas funciones bajo varias familias lógicas (para mayores detalles sobre esto, véase el Suplemento # 1 a esta obra).
PROBLEMA: La salida producida por un circuito es (A+B)·(A · B)·(A+B). Sin simplificar la expresión mediante álgebra Boleana, ¿cuál es su diagrama equivalente?
Trabajando "hacia atrás", descomponiendo la información a la salida en sus partes esenciales, tenemos la siguiente secuencia de pasos, los cuales no serán explicados con palabras porque el procedimiento visual por sí solo será bastante claro:
El diagrama final resulta ser el siguiente:
PROBLEMA: Dadas las secuencias A=011001 y B=110100, calcular:
(1) A + B y A · B
(2) A · B y A + B
¿Qué se puede deducir de los resultados?
(1) Si A=011001, entonces A=100110. Y si B=110100, entonces B=001011.
En base a esto, la suma Boleana será:
A + B = 111101
de lo cual se deduce que:
A + B = 00010
Por otro lado, el producto Boleano de los complementos es:
A · B = 00010
Inspeccionando las dos palabras binarias A y B, resulta claro que al aparearlas bit por bit las dos contienen todas las combinaciones posibles de "unos" y "ceros" al ser combinadas (A=0 y B=0, A=0 y B=1, A=1 y B=0, A=1 y B=1).
Comparando los resultados obtenidos, se concluye que:
A + B = A · B
En notación alterna: (A+B)' = A' · B'
(2) De las palabras dadas obtenemos el siguiente producto Boleano de las mismas:
A·B = 010000
de lo cual se deduce que:
A · B = 101111
Por otro lado, la suma de los complementos es:
A + B = 101111
Comparando los resultados obtenidos, se concluye que:
A · B = A + B
En notación alterna: (A · B)' = A' + B'
Las relaciones obtenidas son mejor conocidas como las leyes de DeMorgan, en honor al logista Augustus DeMorgan (1806-1871) quien fué quien las descubrió por vez primera. Pero al igual que Boole, el inventor del álgebra Boleana, DeMorgan jamás se imaginó que su descubrimiento pudiera tener aplicación alguna en el estudio de los circuitos digitales. En combinación con el álgebra Boleana, estas dos relaciones son extraordinariamente importantes en la simplificación de expresiones que corresponden a circuitos lógicos. Estas leyes son generalmente presentadas de la siguiente manera en otros libros de texto:
A + B = A · B :
El complemento de una suma de variables es igual al producto de los complementos.A · B = A + B :
El complemento del producto de dos variables es igual a la suma de los complementos.Como lo sugieren estos enunciados, las leyes de DeMorgan se pueden extender hacia tres o más variables sin dificultad alguna. La demostración formal de este hecho es relativamente fácil recurriendo a un procedimiento conocido como la inducción matemática. Por curiosa coincidencia, fue precisamente Augustus DeMorgan quien formalizó el término y el concepto de la inducción matemática.
PROBLEMA: ¿Cuál es la salida del siguiente circuito? (Obsérvese que todas las entradas están complementadas)
la salida resultante es igual a A+B, lo cual podemos adjuntar al diagrama en el rastreo del flujo de señales:
PROBLEMA: Un principio aparentemente obvio es el siguiente: "Si las entradas a un elemento lógico se invierten (inversión lógica con bloques NOT) y la salida del elemento también se invierte, se obtiene entonces la misma acción que la que se obtendría del elemento sin la presencia de los inversores". Comprobar la veracidad de este enunciando usando un bloque AND como punto de partida.
Un bloque AND de dos entradas con inversores puestos tanto a las entradas como a la salida presentará el siguiente aspecto:
La salida de este circuito lógico estará dada por:
Para la simplificación Boleana, en la segunda línea, aplicamos una de las Leyes de DeMorgan, mientras que para pasar de la segunda línea a la tercera línea aplicamos el teorema que nos dice que la inversión de una inversión cancela los efectos de ambas sobre la variable en la cual operan.
Puesto que la salida es ahora la correspondiente a un bloque OR y no la correspondiente a la del bloque AND que teníamos originalmente, se concluye que el enunciado propuesto es falso. La misma conclusión se podría haber obtenido si se hubiese usado un bloque OR para comprobar lo propuesto.
PROBLEMA: En la familia lógica de circuitos conocida como RTL (Resistor Transistor Logic, véase el Suplemento # 1 para mayores detalles) el bloque fundamental es la función NOR. Obtener usando esta función como punto de partida las tres funciones lógicas básicas NOT, OR y AND.
Conectando todas las terminales de entrada de un NOR entre sí se puede obtener la función NOT:
NOT
Invirtiendo la salida de un NOR con un NOT así obtenido se puede lograr fácilmente la función OR:
OR
Por último, para obtener la función AND usando bloques NOR hay que relacionarla de alguna manera con la suma Boleana propia de la función NOR usando para ello una de las relaciones de DeMorgan. Buscamos dicha relación trabajando "a la inversa" (llevando a cabo pasos opuestos a los que normalmente tomaríamos para simplificar una expresión):
Vemos que basta invertir las entradas de un NOR para convertirlo en un AND. Por lo tanto, el circuito deseado es el siguiente:
AND
Si queremos, podemos obtener fácilmente la función NAND invirtiendo la salida de este AND con el NOT obtenido previamente a base de bloques NOR.
Puesto que, a partir de bloques NOR exclusivamente, podemos recuperar las tres funciones lógicas básicas, al bloque NOR se le conoce también como una función universal.
1 comentario:
Excelente .. muy bueno.
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